스칼라 곡률

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 특수한 경우
5. 관련 문제 및 정리
6. 관습적인 표기
참조

1. 개요

스칼라 곡률은 리만 다양체의 리치 곡률 텐서의 대각합으로 정의되며, 리만 계량에 대한 대각합의 트레이스이다. 스칼라 곡률은 리치 곡률로부터 직접 계산할 수 없으며, 지수를 올리는 (1,1)-텐서장을 얻기 위해 계량을 사용해야 한다. 스칼라 곡률은 등거리 변환에 불변이며, 계량을 상수 인자로 스케일링하면 스칼라 곡률은 역수 인자로 스케일링된다. 스칼라 곡률은 2차원에서는 가우스 곡률의 두 배이며, 부피와 밀접한 관련이 있다. 야마베 문제, 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량, 캐즈단-워너 정리 등과 관련이 있으며, 텐서 지표 표기법에서 R로 표기되거나 scal, κ, K, r, s, S, τ 등으로 표시되기도 한다.

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스칼라 곡률
개요
유형	스칼라 양
분야	미분기하학
정의	리치 텐서의 대각합
기호	R
상세 정보
다른 이름	리치 스칼라 곡률, 곡률 스칼라
텐서 축소	리치 텐서에서 파생
불변	회전에 대해 불변

2. 정의

리만 다양체 $(M,g)$ 의 리치 곡률 텐서 $\operatorname{Ric}$ 을 생각하자. 스칼라 곡률은 (계량 텐서 $g$ 의 역을 써 정의한) 리치 텐서의 대각합이다. 즉,

: $S=\operatorname{tr}_g\operatorname{Ric}$

지표를 넣어 쓰면 다음과 같다.

: $S=R_{ij}g^{ij}$ .

리만 계량 가 주어졌을 때, 스칼라 곡률 '''''Scal'''''은 계량에 대한 대각합의 대각합으로 정의된다.

: $\operatorname{Scal} = \operatorname{tr}_g \operatorname{Ric}.$

스칼라 곡률은 리치 곡률 자체가 (0,2)-텐서장이기 때문에 리치 곡률로부터 직접 계산할 수 없다. 트레이스를 구하기 위해 지수를 올리는 (1,1)-텐서장을 얻기 위해 계량을 사용해야 한다. 국소 좌표로 표현하면, 아인슈타인 표기법을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\operatorname{Scal} = g^{ij}R_{ij}$

여기서 $R_{ij}$ 는 좌표 기저에서 리치 텐서의 성분이며, $g^{ij}$ 는 역 계량 성분, 즉 계량 성분 $g_{ij}$ 의 역행렬 성분이다. 리치 곡률이 단면 곡률의 합이기 때문에, 스칼라 곡률을 다음과 같이 표현하는 것도 가능하다.

: $\operatorname{Scal}(p)=\sum_{i\neq j}\operatorname{Sec}(e_i,e_j)$

여기서 $\operatorname{Sec}$ 는 단면 곡률을 나타내고, $e_1, \dots, e_n$ 은 $p$ 에서의 임의의 정규 직교 틀이다. 유사한 추론에 의해 스칼라 곡률은 곡률 연산자의 트레이스의 두 배이다. 또는 리치 곡률의 크리스토펠 기호를 이용한 좌표 기반 정의를 고려할 때, 스칼라 곡률을 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\operatorname{Scal} = g^{\mu \nu} \left({\Gamma^\lambda}_{\mu\nu,\lambda} - {\Gamma^\lambda}_{\mu\lambda,\nu} + {\Gamma^\sigma}_{\mu \nu}{\Gamma^\lambda}_{\lambda \sigma} - {\Gamma^\sigma}_{\mu \lambda}{\Gamma^\lambda}_{\nu \sigma}\right)$

여기서 ${\Gamma^\mu}_{\nu \lambda}$ 는 계량의 크리스토펠 기호이고, ${\Gamma^\mu}_{\nu \lambda,\sigma}$ 는 σ-좌표 방향에서 ${\Gamma^\mu}_{\nu \lambda}$ 의 편미분이다.

위의 정의는 유사 리만 계량에도 똑같이 유효하다. 로렌츠 계량의 특수한 경우는 일반 상대성 이론의 수학적 이론에서 중요하며, 여기서 스칼라 곡률과 리치 곡률은 아인슈타인 장 방정식의 기본 항이다.

그러나 리만 곡률 텐서나 리치 텐서와 달리, 스칼라 곡률은 임의의 아핀 접속에 대해 정의할 수 없다. (0,2)-텐서장의 트레이스가 제대로 정의되지 않기 때문이다.

3. 성질

2차원에서는 리만 곡률 텐서의 성분이 대칭에 따라 하나밖에 없으므로, 스칼라 곡률만으로 곡률이 결정된다. 또한, 2차원에서는 가우스 곡률의 두 배이다.

3. 1. 기본 성질

스칼라 곡률이 등거리 변환에 대해 불변이라는 것은 기본적인 사실이다. 좀 더 정확하게 말하면, M 공간에서 N 공간으로의 미분 동형 사상 f가 있고, 후자 공간에는 (유사) 리만 계량 g가 장착되어 있다면, M에 대한 당김 계량의 스칼라 곡률은 g의 스칼라 곡률과 사상 f의 합성으로 같다. 이는 스칼라 곡률이 좌표 차트나 국소 프레임의 선택에 관계없이 기하학적으로 잘 정의되어 있음을 의미한다. 더 일반적으로, 상동 변환의 언어로 표현하면, 계량을 상수 인자 c로 스케일링하는 것은 스칼라 곡률을 역수 인자 c^-1로 스케일링하는 것과 같다.

또한, 스칼라 곡률은 (임의의 정규화 인자의 선택까지) 계량의 유일한 좌표 독립 함수이며, 정규 좌표 차트의 중심에서 평가될 때 계량의 도함수의 다항식이고 위에서 언급한 스케일링 속성을 갖는다. 이것은 베르메일 정리의 한 가지 공식화이다.

3. 2. 비안키 항등식

Bianchi 항등식의 직접적인 결과로, 모든 (유사) 리만 계량은 다음과 같은 성질을 갖는다.

:

\frac{1}{2}\nabla_iR=g^{jk}\nabla_jR_{ki}.

이 항등식은 '수축된 Bianchi 항등식'이라고 불린다. 이것은 거의 즉각적인 결과로, 리치 텐서가 점별로 계량의 배수이면 계량은 아인슈타인 다양체여야 한다는 Schur 보조정리를 포함한다(차원이 2인 경우는 제외). 더욱이, (2차원을 제외하고) 계량이 아인슈타인 계량이 되기 위한 필요충분 조건은 리치 텐서와 스칼라 곡률이 다음과 같이 관련되어 있다는 것이다.

:

R_{ij}=\frac{1}{n}Rg_{ij},

여기서 n은 차원을 나타낸다. 수축된 Bianchi 항등식은 일반 상대성 이론의 수학에서 기본적인데, 이는 아인슈타인 텐서를 기본적인 양으로 식별하기 때문이다.

3. 3. 리치 분해

n

차원 공간 위에 (유사-)리만 계량

g

가 주어졌을 때, 리만 곡률 텐서의 ''스칼라 곡률 부분''은 (0,4)-텐서장이다.

:

\frac{1}{n(n-1)}R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).

이 텐서는 리치 분해의 일부로서 중요하며, 리만 텐서와 자기 자신 사이의 차이에 직교한다. 리치 분해의 다른 두 부분은 스칼라 곡률에 기여하지 ''않는'' 리치 곡률의 성분과, 리치 곡률에 기여하지 않는 리만 텐서의 부분인 바일 텐서에 해당한다. 다르게 말하면, 위의 텐서장은 스칼라 곡률에 기여하는 리만 곡률 텐서의 유일한 부분이며, 다른 부분들은 이에 직교하며 그러한 기여를 하지 않는다. 켈러 계량의 곡률에 대한 리치 분해도 있다.

3. 4. 공변 미분

공형적으로 변경된 계량의 스칼라 곡률은 다음과 같이 계산할 수 있다.

:R(e^{2f}g)=e^{-2f}(R(g)-2(n-1)Δgf-(n-2)(n-1)g(df,df))

여기서 Δ = ''g''^{''ij ''}∇_''i''∇_''j''는 라플라스-벨트라미 연산자에 대한 표기이다. 또는,

:R(ψ^{4/(n-2)}g)=-(4(n-1)/(n-2)Δgψ-R(g)ψ)/ψ^{(n+2)/(n-2)}.

기저 계량의 무한소 변화 하에서 다음을 얻는다.

:∂R/∂t=-Δg(g^{ij}∂g_{ij}/∂t)+(∇k∇l∂g_{ij}/∂t-R_{kl}∂g_{ij}/∂t)g^{ik}g^{jl}.

특히, 계량을 스칼라 곡률로 보내는 미분 연산자의 주요 기호는 다음과 같다.

:(ξi,h_{ij})↦-g(ξ,ξ)g^{ij}h_{ij}+h_{ij}ξ^iξ^j.

또한, 선형화된 스칼라 곡률 연산자의 수반 연산자는 다음과 같다.

:f↦∇i∇jf-(Δf)g_{ij}-fR_{ij},

이는 리만 계량의 경우 과결정된 타원형 연산자이다. 일계에서, 닫힌 다양체에서 리치 평탄 리만 계량은 양수 또는 음수 스칼라 곡률을 가지도록 변형될 수 없다는 것은 첫 번째 변형 공식의 직접적인 결과이다. 또한 일계에서, 부피 정규화 하에서 닫힌 다양체의 아인슈타인 계량은 스칼라 곡률을 증가시키거나 감소시키도록 변형될 수 없다.

3. 5. 부피와의 관계

스칼라 곡률이 한 점에서 양수이면, 그 점을 중심으로 하는 작은 측지 구의 부피는 유클리드 공간에서 같은 반지름을 가진 구보다 작다. 반면에, 스칼라 곡률이 한 점에서 음수일 때는 작은 구의 부피가 유클리드 공간에서보다 더 크다.

이것은 리만 ''n''-다양체

(M,g)

의 점 ''p''에서 스칼라 곡률 ''S''의 정확한 값을 특징짓기 위해 보다 정량적으로 만들 수 있다. 즉, 다양체에서 반지름 ε인 구의 ''n''차원 부피와 유클리드 공간에서 해당 구의 부피의 비율은 작은 ε에 대해 다음과 같이 주어진다.

:

\frac{\operatorname{Vol}(B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Vol}\left(B_\varepsilon(0)\subset {\mathbb R}^n\right)} =1 - \frac{S}{6(n + 2)}\varepsilon^2 + O\left(\varepsilon^3\right).

따라서, 반지름 ''ε'' = 0에서 평가된 이 비율의 두 번째 도함수는 정확히 스칼라 곡률을 3(''n'' + 2)로 나눈 값의 음수이다.

이러한 구의 경계는 반지름

\varepsilon

인 (''n'' − 1)차원 구이며, 그 초표면 측정("면적")은 다음 방정식을 만족한다.

:

\frac{\operatorname{Area} (\partial B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Area}(\partial B_\varepsilon(0)\subset {\mathbb R}^n)} = 1 - \frac{S}{6n} \varepsilon^2 + O\left(\varepsilon^3\right).

이러한 전개는 2차원에서 고차원으로 가우스 곡률의 특징을 일반화한다.

4. 특수한 경우

Kähler 계량에 상수 정칙 단면 곡률이 주어질 때 스칼라 곡률도 상수이다.

수학과 일반 상대성 이론에서, 비틀린 곱 메트릭은 중요한 예시의 원천이다. 예를 들어, 우주론에 중요한 Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker 메트릭 일반적인 Robertson–Walker 시공간은 로렌츠 메트릭

: $-dt^2+f(t)^2 g$

이며, 여기서 $g$ 는 3차원 다양체 $M$ 에 대한 상수 곡률 리만 메트릭이다. Robertson–Walker 메트릭의 스칼라 곡률은 다음과 같이 주어진다.

: $6\frac{f'(t)^2+f(t)f''(t)+k}{f(t)^2},$

여기서 $k$ 는 $g$ 의 상수 곡률이다.

리치 평탄 다양체는 스칼라 곡률이 0을 갖는다는 것이 자동적으로 성립하며, 이 종류에서 가장 잘 알려진 공간은 칼라비-야우 다양체이다. 의사 리만 기하학적 맥락에서 이는 또한 슈바르츠실트 시공간과 커 시공간을 포함한다.

스칼라 곡률은 0이지만 리치 곡률이 0이 아닌 계량도 존재한다. 예를 들어, 실수 사영 공간 위의 자명한 선다발에 대해 뒤틀린 곱 계량으로 구성된 완비 리만 계량이 존재하는데, 이는 스칼라 곡률은 0이지만 리치 곡률은 0이 아니다. 이는 또한 원통 $\mathbb{R} \times S^n$ 에 대한 회전 대칭 리만 계량으로 볼 수 있으며, 스칼라 곡률은 0이다.

4. 1. 2차원

2차원에서는 리만 곡률 텐서의 성분이 대칭에 따라 하나밖에 없다. 따라서 스칼라 곡률만으로 곡률이 결정된다. 또한, 2차원에서는 가우스 곡률의 두 배이다.

2차원에서 스칼라 곡률은 가우스 곡률의 정확히 2배이다. 유클리드 공간 '''R'''³에 임베디드된 표면의 경우, 이는 다음을 의미한다.

:

S = \frac{2}{\rho_1\rho_2}\,

여기서

\rho_1,\,\rho_2

는 표면의 주곡률이다. 예를 들어, 반지름 ''r''인 2-구의 스칼라 곡률은 2/''r''²와 같다.

2차원 리만 곡률 텐서는 하나의 독립적인 성분만 가지며, 스칼라 곡률과 메트릭 면적 형식으로 표현될 수 있다. 즉, 모든 좌표계에서 다음이 성립한다.

:

2R_{1212} \,= S \det (g_{ij}) = S\left[g_{11}g_{22} - (g_{12})^2\right].

4. 2. 공간 형태

공간 형태는 정의에 따라 상수 단면 곡률을 갖는 리만 다양체이다. 공간 형태는 다음과 같은 유형 중 하나에 국소적으로 등거리적이다.

'''유클리드 공간''': ''n''차원 유클리드 공간의 리만 텐서는 항등적으로 소멸하므로, 스칼라 곡률도 마찬가지이다.
'''n-구''': 반지름 ''r''인 ''n''-구의 단면 곡률은 ''K'' = 1/''r''²이다. 따라서 스칼라 곡률은 ''S'' = ''n''(''n'' - 1)/''r''²이다.
'''쌍곡 공간''': 쌍곡면 모형에 의해, ''n''차원 쌍곡 공간은 (''n'' + 1)차원 민코프스키 공간의 부분 집합으로 식별될 수 있다.

:

x_0^2 - x_1^2 - \cdots - x_n^2 = r^2, \quad x_0 > 0.

:매개변수 ''r''은 쌍곡 공간의 기하학적 불변량이며, 단면 곡률은 ''K'' = -1/''r''²이다. 따라서 스칼라 곡률은 ''S'' = -''n''(''n'' - 1)/''r''²이다.

4. 3. 곱공간

리만 다양체의 곱공간 ''M'' × ''N''의 스칼라 곡률은 ''M''과 ''N''의 스칼라 곡률의 합이다. 예를 들어, 모든 매끄러운 다양체 닫힌 다양체 ''M''에 대해, ''M'' × ''S''²는 단지 2-구의 크기를 ''M''에 비해 작게 함으로써(따라서 곡률이 커짐) 양의 스칼라 곡률을 갖는 메트릭을 갖는다. 이 예시는 스칼라 곡률이 다양체의 전역 기하학과는 거의 관련이 없다는 것을 시사할 수 있다. 사실, 아래에서 논의된 바와 같이, 스칼라 곡률은 어느 정도 전역적인 의미를 갖는다.

5. 관련 문제 및 정리

야마베 히데히코, 닐 트루딩거, 티에리 오뱅, 리처드 쇼언의 연구로 야마베 문제가 해결되었고, 가우스-보네 정리에 따라 닫힌 리만 2-다양체의 총 스칼라 곡률과 오일러 지표 사이의 관계가 밝혀졌다. 앙드레 리흐네로비츠는 스핀 다양체에서 디랙 연산자와 스칼라 곡률 간의 관계를 발견하여, 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량의 존재에 대한 위상적 장애를 제시했다.

이후, 나이젤 히친은 특정 차원에서 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량을 갖지 않는 이국적인 구가 존재함을 증명했고, 그로모프와 로슨은 확대 가능한 스핀 다양체가 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량을 가질 수 없음을 보였다. 또한, 자이베르그-위튼 방정식을 통해 양의 스칼라 곡률을 갖는 계량의 비존재에 대한 새로운 기준이 제시되었다.

로슨과 야우는 비가환적 유효 군 작용의 광범위한 클래스에서 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량을 구성했으며, 쇤-야우와 그로모프-로슨은 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량의 존재가 위상적 수술에 의해 보존됨을 증명했다. 그로모프-로슨은 h-코보디즘 정리를 통해 4차원보다 큰 차원에서 모든 비스핀 단일 연결된 닫힌 다양체가 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량을 갖는다는 것을 증명했다. 스테판 스톨츠는 이를 확장하여 α-종수가 0인 경우에도 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량이 존재함을 보였다.

캐즈단과 워너는 지정된 스칼라 곡률 문제를 해결하여, 3차원 이상의 다양체에서 스칼라 곡률로 나타날 수 있는 함수를 분류했다. 아키토 후타키는 강하게 스칼라 평탄한 계량이 극도로 특별하며, 특정 홀로노미 군을 가진 리만 다양체의 곱이어야 함을 보였다.

5. 1. 야마베 문제

야마베 히데히코, 닐 트루딩거, 티에리 오뱅, 리처드 쇼언의 연구 결과들을 종합하여 1984년에 '''야마베 문제'''가 해결되었다. 이들은 닫힌 다양체 위의 모든 매끄러운 리만 계량은 어떤 매끄러운 양의 함수를 곱하여 상수 스칼라 곡률을 갖는 계량을 얻을 수 있음을 증명했다. 즉, 닫힌 다양체 위의 모든 리만 계량은 상수 스칼라 곡률을 갖는 계량과 등각적이다.

5. 2. 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량

가우스-보네 정리에 따르면, 닫힌 리만 2-다양체 ''M''의 총 스칼라 곡률은 ''M''의 오일러 지표의 4π 배와 같다. 예를 들어, 양의 스칼라 곡률을 갖는 메트릭을 가진 유일한 닫힌 곡면은 구(''S''²)와 '''RP'''²처럼 양의 오일러 지표를 갖는 것들이다. 또한, 이 두 곡면은 스칼라 곡률이 0 이하인 메트릭을 갖지 않는다.

1960년대에 앙드레 리흐네로비츠는 스핀 다양체에서 디랙 연산자의 제곱과 텐서 라플라시안(스피너 필드에 대해 정의됨) 간의 차이가 스칼라 곡률의 4분의 1과 정확히 같다는 것을 발견했다. 이는 바이트첸뵈크 공식의 기본적인 예이다. 결과적으로, 닫힌 다양체에 대한 리만 계량이 양의 스칼라 곡률을 가지면, 조화 스피너가 존재할 수 없다. 그러면 아티야-싱어 지수 정리의 결과에 따라, 차원이 4로 나누어 떨어지고 양의 스칼라 곡률을 갖는 닫힌 스핀 다양체에 대해, Â 종수는 반드시 0이 되어야 한다. 이는 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량의 존재에 대한 순수한 위상적 장애이다.

리흐네로비츠의 디랙 연산자를 사용한 논증은 보조 벡터 다발에 의해 "꼬일" 수 있으며, 이는 리흐네로비츠 공식에 하나의 추가 항만을 도입하는 효과를 낸다. 그런 다음, 지수 정리의 패밀리 버전과 ''α-종수''로 알려진 Â 종수의 개선된 버전을 사용하는 것을 제외하고는 위의 동일한 분석을 따라 나이젤 히친은 특정 차원에서 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량을 갖지 않는 이국적인 구가 존재한다는 것을 증명했다. 그로모프와 로슨은 나중에 리흐네로비츠의 이러한 변형을 광범위하게 사용했다. 그들의 결과적인 정리 중 하나는 ''확대성''의 호모토피 이론적 개념을 도입하고, 확대 가능한 스핀 다양체는 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량을 가질 수 없다고 말한다. 결과적으로, 토러스와 같이 음수가 아닌 곡률을 갖는 리만 계량을 가진 닫힌 다양체는 양의 스칼라 곡률을 갖는 계량을 갖지 않는다. 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량의 비존재에 대한 그로모프와 로슨의 다양한 결과는 양의 스칼라 곡률을 갖는 모든 닫힌 스핀 다양체의 광범위한 위상 불변량의 소멸에 대한 추측을 뒷받침한다. 이는 (정확한 공식으로) 강한 노비코프 추측의 특별한 경우이며, 기본군에 대한 C*-대수의 K-이론을 다룬다. 이는 다시 기본군에 대한 바움-코네스 추측의 특별한 경우이다.

4차원 다양체의 특별한 경우에, 자이베르그-위튼 방정식이 스칼라 곡률 연구에 유용하게 적용되었다. 리흐네로비츠의 분석과 유사하게, 핵심은 최대 원리를 적용하여 스칼라 곡률이 양수일 때 자이베르그-위튼 방정식의 해가 자명해야 함을 증명하는 것이다. 또한 리흐네로비츠의 연구와 유사하게, 지수 정리는 방정식의 비자명한 해의 존재를 보장할 수 있다. 이러한 분석은 양의 스칼라 곡률을 갖는 계량의 비존재에 대한 새로운 기준을 제공한다. 클로드 르브룅은 여러 논문에서 이러한 아이디어를 추구했다.

위의 비존재 결과와 대조적으로, 로슨과 야우는 비가환적 유효 군 작용의 광범위한 클래스에서 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량을 구성했다.

이후, 쇤-야우와 그로모프-로슨은 (다른 기술을 사용하여) 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량의 존재가 위상적 수술에 의해, 특히 코차원 3 이상에서 보존되며, 특히 연결합에 의해 보존된다는 기본적인 결과를 증명했다. 이는 광범위한 다양체에서 그러한 계량의 존재를 확립한다. 예를 들어, 이는 임의 개수의 구형 공간 형식과 일반화된 실린더의 연결합이 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량을 갖는다는 것을 즉시 보여준다. 그리고리 페렐만의 수술을 동반한 리치 흐름의 구성은 3차원 경우에 있어서 즉각적인 결과로, 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량을 갖는 닫힌 가향 가능 3-다양체는 그러한 연결합이어야 한다.

그로모프-로슨 및 쇤-야우 구성에 의해 허용되는 수술에 기초하여, 그로모프와 로슨은 h-코보디즘 정리와 코보디즘 환의 분석을 직접 적용할 수 있음을 관찰했다. 그들은 4차원보다 큰 차원에서, 모든 비스핀 단일 연결된 닫힌 다양체가 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량을 갖는다는 것을 증명했다. 스테판 스톨츠는 4차원보다 큰 차원에서 단일 연결된 닫힌 다양체에 대한 존재 이론을 완성하여, α-종수가 0인 한 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량이 존재함을 보였다.

이러한 결과에 따르면, 닫힌 다양체의 경우, 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 계량의 존재는 3차원 경우와 4차원보다 큰 차원의 단일 연결된 다양체의 경우에 완전히 해결되었다.

5. 3. 캐즈단-워너 정리

캐즈단과 워너는 차원이 3 이상인 매끄러운 닫힌 다양체 ''M'' 위의 어떤 매끄러운 함수가 ''M'' 위의 어떤 리만 계량의 스칼라 곡률로 나타나는지를 설명하는 지정된 스칼라 곡률 문제를 해결했다. 이들은 ''M''이 다음 세 가지 유형 중 정확히 하나여야 함을 보였다.

# ''M'' 위의 모든 함수는 ''M'' 위의 어떤 계량의 스칼라 곡률이다.

# ''M'' 위의 함수는 이 함수가 어디에서든 동일하게 0이거나 음수일 경우에만 ''M'' 위의 어떤 계량의 스칼라 곡률이다.

# ''M'' 위의 함수는 이 함수가 어디에서든 음수일 경우에만 ''M'' 위의 어떤 계량의 스칼라 곡률이다.

따라서 차원이 3 이상인 모든 다양체는 음의 스칼라 곡률을 갖는 계량을 가지며, 실제로 상수 음의 스칼라 곡률을 갖는 계량도 존재한다. 캐즈단-워너의 결과는 어떤 다양체가 양의 스칼라 곡률을 가진 계량을 갖는지에 대한 질문으로 이어진다. 경계선 케이스 (2)는 '''강하게 스칼라 평탄한 계량'''을 가진 다양체의 클래스로 설명할 수 있다. 이는 스칼라 곡률이 0인 계량으로서, ''M''이 양의 스칼라 곡률을 가진 계량을 갖지 않는다는 것을 의미한다.

아키토 후타키는 강하게 스칼라 평탄한 계량이 극도로 특별하다는 것을 보였다. 차원이 5 이상인 단일 연결된 리만 다양체 ''M''이 강하게 스칼라 평탄한 경우, ''M''은 홀로노미 군 SU(''n'') (칼라비-야우 다양체), Sp(''n'') (초켈러 다양체), 또는 Spin(7)을 가진 리만 다양체의 곱이어야 한다. 특히, 이러한 계량은 스칼라 평탄할 뿐만 아니라 리치 평탄하다. 반대로, 이러한 홀로노미 군을 가진 다양체의 예시로, K3 곡면과 같이 스핀하고 0이 아닌 α-불변량을 가지는 경우가 있으며, 이들은 강하게 스칼라 평탄하다.

5. 4. 강하게 스칼라 평탄한 계량

리치 평탄 다양체는 스칼라 곡률이 0을 갖는다는 것이 자동적으로 성립하며, 이 종류에서 가장 잘 알려진 공간은 칼라비-야우 다양체이다. 의사 리만 기하학적 맥락에서 이는 또한 슈바르츠실트 시공간과 커 시공간을 포함한다.

스칼라 곡률은 0이지만 리치 곡률이 0이 아닌 계량도 존재한다. 예를 들어, 실수 사영 공간 위의 자명한 선다발에 대해 뒤틀린 곱 계량으로 구성된 완비 리만 계량이 존재하는데, 이는 스칼라 곡률은 0이지만 리치 곡률은 0이 아니다. 이는 또한 원통 R × Sⁿ^영어에 대한 회전 대칭 리만 계량으로 볼 수 있으며, 스칼라 곡률은 0이다.

6. 관습적인 표기

리만 계량 ''g''가 주어졌을 때, 스칼라 곡률 '''''Scal'''''은 계량에 대한 대각합으로 정의된다.

: $\operatorname{Scal} = \operatorname{tr}_g \operatorname{Ric}.$

스칼라 곡률은 리치 텐서 자체가 (0,2)-텐서장이기 때문에 리치 곡률로부터 직접 계산할 수 없다. 대각합을 구하기 위해 지수를 올려 (1,1)-텐서장을 얻어야 하는데, 이때 계량을 사용한다. 국소 좌표로 표현하면, 아인슈타인 표기법을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\operatorname{Scal} = g^{ij}R_{ij}$

여기서 $R_{ij}$ 는 좌표 기저에서 리치 텐서의 성분이며, $g^{ij}$ 는 역 계량 성분, 즉 계량 성분 $g_{ij}$ 의 역행렬이다.

텐서 지표 표기법에서는 문자 ''R''이 세 가지 다른 것을 나타내는 데 흔히 사용된다.

리만 곡률 텐서: $R_{ijk}^l$ 또는 $R_{abcd}$
리치 텐서: $R_{ij}$
스칼라 곡률: ''R''

이들은 지표의 수로 구별된다. 리만 텐서는 네 개의 지표, 리치 텐서는 두 개의 지표, 스칼라 곡률은 지표가 없다. 스칼라 곡률에 사용되는 다른 표기법으로는 scal, κ, K, r, s, τ 등이 있다.

지표 표기법을 사용하지 않는 경우, 보통 전체 리만 곡률 텐서를 위해 ''R''을 사용한다. 좌표가 없는 표기법에서는 리만 텐서에 Riem, 리치 텐서에 Ric, 스칼라 곡률에 ''R''을 사용할 수 있다.

일부 저자는 정규화 인자를 사용하여 리치 곡률과 스칼라 곡률을 정의하기도 한다.

:

R_{ij}=\frac{1}{n-1}g^{kl}R_{kijl}\text{ and }R=\frac{1}{n}g^{ij}R_{ij}.

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